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Análisis Matemático 66

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 7: Estudio de Funciones

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3. Encuentre los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de las siguientes funciones
b) f(x)=sen⁡xf(x)=\operatorname{sen} x en [−π,π][-\pi, \pi]

Respuesta

Para encontrar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f(x)f(x) vamos a seguir los pasos que vimos en clase.

1) Identificamos el dominio de f(x)f(x)

En este caso el enunciado nos dice que sólo vamos a estar mirando en [−π,π][-\pi, \pi], así que este es el dominio a tener en cuenta.

2) Derivamos f(x)f(x)

f′(x)=cos⁡(x)f'(x) = \cos(x)

3) Igualamos f′(x) f'(x) a cero

cos⁡(x)=0\cos(x) = 0

Reaparece todo lo que vimos al principio en trigonométricas. En el intervalo [−π,π][-\pi, \pi] el coseno valía 00 en x=−π2x= -\frac{\pi}{2} y en x=π2x= \frac{\pi}{2}

Por lo tanto, x=−π2x= -\frac{\pi}{2} y x=π2x= \frac{\pi}{2} son nuestros puntos críticos.

4) Dividimos la recta real en intervalos donde sabemos que f′(x)f'(x) es continua y no tiene raíces:

a) (−π, −π2)(-\pi, -\frac{\pi}{2})
b) (−π2, π2)(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})
c) (π2,π)(\frac{\pi}{2}, \pi)

5) Evaluamos el signo de f′(x) f'(x)  

En  (−π, −π2) ⇒f′(x)<0→ (-\pi, -\frac{\pi}{2}) \Rightarrow f'(x) < 0 \rightarrow Por lo tanto f f es decreciente
En  (−π2, π2) ⇒f′(x)>0→ (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) \Rightarrow f'(x) > 0 \rightarrow Por lo tanto f f es creciente
En  (π2,π) ⇒f′(x)<0→ (\frac{\pi}{2}, \pi) \Rightarrow f'(x) < 0 \rightarrow Por lo tanto f f es decreciente

Entonces, recapitulando:

Intervalo de crecimiento: (−π2, π2)(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})
Intervalo de decrecimiento: (−π, −π2)∪ (π2,π)(-\pi, -\frac{\pi}{2}) \cup (\frac{\pi}{2}, \pi)
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