Volver a Guía
Ir al curso
Reportar problema
CURSO RELACIONADO
Análisis Matemático 66
2024
GUTIERREZ (ÚNICA)
¿Te está ayudando la guía resuelta?
Sumate a nuestro curso, donde te enseño toda la materia de forma súper simple. 🥰
Ir al curso
ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
3.
Encuentre los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de las siguientes funciones
b) $f(x)=\operatorname{sen} x$ en $[-\pi, \pi]$
b) $f(x)=\operatorname{sen} x$ en $[-\pi, \pi]$
Respuesta
Para encontrar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de $f(x)$ vamos a seguir los pasos que vimos en clase.
1) Identificamos el dominio de $f(x)$
En este caso el enunciado nos dice que sólo vamos a estar mirando en $[-\pi, \pi]$, así que este es el dominio a tener en cuenta.
2) Derivamos $f(x)$
$f'(x) = \cos(x)$
3) Igualamos \( f'(x) \) a cero
$\cos(x) = 0$
Reaparece todo lo que vimos al principio en trigonométricas. En el intervalo $[-\pi, \pi]$ el coseno valía $0$ en $x= -\frac{\pi}{2} $ y en $x= \frac{\pi}{2} $
Por lo tanto, $x= -\frac{\pi}{2} $ y $x= \frac{\pi}{2} $ son nuestros puntos críticos.
4) Dividimos la recta real en intervalos donde sabemos que $f'(x)$ es continua y no tiene raíces:
a) $(-\pi, -\frac{\pi}{2})$
b) $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$
c) $(\frac{\pi}{2}, \pi)$
5) Evaluamos el signo de \( f'(x) \)
En \( (-\pi, -\frac{\pi}{2}) \Rightarrow f'(x) < 0 \rightarrow \) Por lo tanto \( f \) es decreciente
En \( (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) \Rightarrow f'(x) > 0 \rightarrow \) Por lo tanto \( f \) es creciente
En \( (\frac{\pi}{2}, \pi) \Rightarrow f'(x) < 0 \rightarrow \) Por lo tanto \( f \) es decreciente
Entonces, recapitulando:
Intervalo de crecimiento: $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$
Intervalo de decrecimiento: $(-\pi, -\frac{\pi}{2}) \cup (\frac{\pi}{2}, \pi)$